Итоги новогодних семинаров по математике

Новогодние семинары были посвящены олимпиадной математике, и эта тема была выбрана не просто так. Наши ученики сегодня – студенты завтра, и всем придется сдавать ЕГЭ по математике, часть С которого сопоставима с заданиями из олимпиад. Правда, в отличии от ЕГЭ, олимпиадные задачи тренируют одно из самых важных умений – умение логически рассуждать.

Подведем итоги трехдневной работы.

День первый

Первое и самое главное, что произошло в этот день – конечно же, знакомство друг с другом. Но на этом события первого дня не заканчиваются.

Мы решили задачу, которая так любима многими математиками: сравнить числа е в степени π и π в степени е. Кстати, эта задача была на одной из первых Всероссийских олимпиад по математике в 70-х годах.

Рассмотрели метод нахождения области значения дробно-рациональной функции путем введения параметра. Кто бы мог подумать, что задачу о нахождении области значения функции можно свести к моим любимым параметрам!

Особенно ученикам понравилась задача, которой со мной поделилась моя коллега Плиева Мадина: можно ли иррациональное число возвести в иррациональную степень и получить рациональное число? И ученики, и я оценили решение этой красивой задачи, основанное на простых и очевидных рассуждениях.

Задача с параметром 14 или 3 способа сделать одно и то же

Задача звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, система имеет решения?

Решения

Как всегда первое мое решение было графическим, и как по мне, так оно самое красивое. Два остальных решения(аналитические) пришли мне в голову когда я оформлял графическое решение :)

Чертова дюжина или задача с параметром 13

На носу конференция посвященная  .NET, но тем не менее я нашел часок второй, чтобы оформить решений этой интересной задачи с параметром.

Итак, условие звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, система уравнений имеет более двух решений

Задача с параметром 12

Сегодняшняя задача звучит следующим образом: при каких значениях параметра a, система имеет единственное решение?

Решение

Я не написал в решении, но для точности можно рассмотреть еще 2 случая, когда окружности вырождаются в точки. В этом случае может получится единственное решение если эта точка принадлежит кругу. Но в данном случае так не происходит!

Заочный этап олимпиады МФТИ по математике

Публикую свои решения заочного этапа олимпиады МФТИ по математике 2014 года. Надеюсь никто в этом ничего зазорного не найдет, ведь это только заочный этап. Все самое интересное будет на очном этапе!

Условия задач

Одинадцатая задача с параметром

При каких значения параметра а, система имеет единственное решение?

Задача с параметром 10

Это только 10 задача, а такое чувство, что уже 100-ая.

Сегодняшняя задача с параметром звучит следующим образом: найдите все значения a, при каждом из которых функция f(x) = ||x| - 2| - ax + 8a принимает значение, равное 2, в двух различных точках.

Задачу можно решить как аналитически, так и графически. Как всегда графический способ намного проще и красивее.

 

Можно было не описывать все значения параметра, а обойтись лишь теме при которых уравнение действительно имеет только два корня. Но наглядности, я думаю это не помешает.

Читающим советую решить эту задачу аналитически и сравнить.

PS. Можно раскрыть внешний модуль и свести уравнение к совокупности и порассуждать графически.

Больше меньше большего

Во время моей подготовки к ЕГЭ по математике, решал задачу С3 2005 года. Условие задачи звучало следующим образом: найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее из двух чисел b = 9^a+3^2+a+1, c = 3^2-a+9^-a-5 меньше 9.

Решение из критериев начиналось словами: наибольшее из двух чисел меньше 9 тогда и только тогда, когда каждое из них меньше 9. Казалось бы очевидное утверждение по мнению разработчиков критериев, а вот я на тот момент долго не мог понят почему это так.

Продолжение статьи.

Задача с параметром 9

При каких значения параметра а, уравнение

имеет ровно три различных корня?

Сегодняшняя задача не является сложной. Суть решения заключается в исследовании корней квадратичной функции.

Придумал три способа решения, 2 из них записал, третий на откуп читателю.

Ссылка на решения.

Сечения многогранников

Стереометрия (от «стереос» — «пространственный») — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Стереометрия во многом дополняет планиметрию, так, например, в стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые — прямые не лежащие в одной плоскости. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых как нам известно выполняются планиметрические законы.

Подобно тому как в алгебре выделяют отдельный класс задач с параметрами, в стереометрии выделяют класс задач на построения сечений многогранников. Эти задачи являются интересными и весьма нетривиальными: они требуют, как знаний аксиом стереометрии, так и хорошего пространственного воображения.

В тоже время существуют специальные методы, овладев которыми можно строить сечения многогранников любой сложности. О них и пойдет речь в данной статье.

Полностью статью можно прочитать по ссылке.

Задача с параметром 8

Задачка вышла немного раньше, поскольку в субботу не смогу опубликовать.

В общем условие звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, уравнение 

имеет ровно 4 корня?

Вместо тысячи слов - задача с параметром 7

При каких значения параметра a, неравенство log_|x-a|(x² + ax) ≤ 2 верно для всех x из отрезка [2; 5/2]?

Решение

Конечно можно решать данную задачу аналитически, рассматривая много случаев, но как мне кажется это не самое красивое решение.

Метод областей вот, что нам надо... Вместо тысячи слов, одна картинка и ответ получен! Правда чтобы построить такую картинку нужно потрудиться...

Метод областей красивое расширение обобщенного метода интервалов на двумерную плоскость. Очень часто помогает при решении задач с параметрами.

Задача с параметром 6

Сегодня решаем задачу весьма не похожую на то, что обычно бывает на ЕГЭ. Задача не сложная, но интересная. Поехали!

Условия задачи звучит следующим образом: Найти все значения параметра a, при которых больший корень уравнения 

Задача с параметром 5

Продолжаем решать задачи с параметрами. На этот раз задача звучит следующим образом:

Найдите все значение параметра a, при каждом из которых неравенство 4^x - a ∙ 2^x - a + 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно решение.

В общем достаточно несложная задачка, все рассуждения сводятся к исследованию корней квадратного трехчлена.

Задача с параметром 4

При каких значениях параметра a неравенство a³x⁴ + 6a²x² - x + 9a + 3 ≥ 0  верно для всех действительных x?

Задача с параметром 3

Продолжаем решать задачи с параметрами. На это раз задача звучит следующим образом:
при каких значениях параметра а, уравнение x(x + 1)(x + a)(x + a + 1) = a² имеет ровно 4 корня?

Задача с параметром 2

Продолжаем решать задачи с параметрами. На это раз задача звучит следующим образом:

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство x² + 2|x - a| ≥ a² 
справедливо для всех действительных x.

Об одной задаче с параметром

Помню был 2012 год, я сидел и слушал защиты дипломов 5 курса на 5 этаже математического факультета, как вдруг меня позвал один из преподавателей и попросил помочь с задачами С части. Это был резервный день основной волны, об этом я узнал совсем недавно.

Мой интерес привлекла задача с параметром С5, и как  сейчас я помню, решить я её не успел. И вот на днях случайно мне попалась эта же задача, прочитав условие я сразу же вспомнил своё "поражение". Немного поразмыслив, мне пришло в голову два решения.

Итак, требуется найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |x² - 8x + a + 5| > 10 не имеет решений на отрезке [a - 6; a].

Диплом

Очень важно никогда не отступать от задуманного!

Решение С части ЕГЭ по математике (16 июля 2014 вторая волна резерв)

Ну вот и закончилось ЕГЭ по математике. 16 июля был резервный день второй волны. Вариант не похож на то, что было на основной волне.

Порадовала С5, но вот вычисления в С2 и С4 не очень обрадовали.  Ссылка на вариант

3,5 способа сделать одно и тоже

«Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека»

Леопольд Кронекер

Немного истории

Натуральные числа - это числа, которые возникают естественным образом при счете. Они идеально подходят для сложения целых величин, таких как овцы или монеты.

1 2 3 4 5 6 7 ... - ряд натуральных чисел

Результатом сложения двух натуральных чисел является число вновь натуральное. Однако наравне с операцией сложения есть и обратная операция - вычитание. Так, например, 17-7 = 10 - число натуральное. Но чему равно 7 - 17? Можно заметить, что операция вычитание вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь отрицательных чисел, некоторые вопросы относительно натуральных чисел остались бы без ответа.

Операция вычитания потребовала рассмотреть отрицательные числа, а вместе с ними и целые которые являются расширением множества натуральных чисел.

Продолжение статьи можно прочитать перейдя по ссылке.

Математики тоже шутят

Кто сказал что математики не умеют шутить? Быть может их юмор не все понимают? Привожу подборку смешных историй и анекдотов из жизни математиков. Большинство из них взято из книги Сергея Федина - "Математики тоже шутят".

Главное достижение

Говорят, что академик Колмогоров (1903–1987) очень гордился выведенной им формулой, описывающей женскую логику:

«Если из А следует В, и В приятно, то А — истинно».

Таблица умножения

Известный немецкий алгебраист Эрнст Эдуард Куммер (1810–1893) очень плохо умел считать в уме. Если при чтении лекции ему надо было выполнить простенький расчет, он обычно прибегал к помощи студентов.

Однажды ему надо было умножить 7 на 9. Он начал вслух рассуждать:

— Гм... это не может быть 61, потому что 61 — простое число. Это не может быть и 65, потому что 65 делится на 5. 67 — тоже простое число, а 69 — явно слишком много. Остается только 63...

Великая теорема Ферма

Буквально пару дней назад прочитал книгу Саймона Сингха - "Великая теорема Ферма". Читаю во второй раз, и хочу сказать, что получаю огромное удовольствие.

Теорема Ферма говорит о том, что уравнение
xⁿ+yⁿ=zⁿ, n>2
не имеет целочисленных, ненулевых решений.

Более 350 лет математики всего мира бились над решением этой казалось бы простой задачи оставленной на полях "Арифметики" Диофанта. Особый интерес внес еще её автор - "Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него".

Были доказаны частные случаи для n=3(Эйлер), n=4(самим Ферма),...., но общего решения не было вплоть до 1995 года.

Решение было обнародовано английским математиком Эндрю Уайлсом и тесно связано с так называемой гипотезой Таниями-Шимуры о связи эллиптических кривых и модулярных форм. Эндрю Уайлс узнал об этой теореме в 10 лет, и поставил себе цель доказать ее во что бы то ни стало. Более 7 лет ему потребовалось на решение этой непостижимо сложной задачи. И в 1995 году он предоставил окончательное решение которое занимает больше 100 страниц.

Читая книгу можно узнать не только историю доказательства Великой теоремы, но и историю самой математики, ведь именно благодаря ей были открыты многие ее разделы.

Остается только догадываться было ли доказательство у великого гения 17 века Пьера де Ферма или же он ошибался, однако в обоих случаях ему можно стоя поаплодировать за создание столь просто звучащей и столь сложно решаемой задачи. Еще большие аплодисменты заслуживает Эндрю Уайлс - человек доказавший Великую теорему Ферма.

Я советую абсолютно всем людям(не зависимо от того занимаются ли они математикой или нет) прочитать эту интереснейшую книгу об истории одной теоремы ставшей культом математики.
.

Под капотом у Stopwatch

Введение

Очень часто, нам разработчикам необходимо измерить время выполнения своего (и не только своего) кода. Когда я только начал программировать, я использовал структуру DateTime для этих целей. Прошло время, и я узнал о классе Stopwatch и начал его активно использовать. Думаю аналогичная ситуация была и у вас. Не то, чтобы я раньше не задавался вопросом о том, как работает Stopwatch, просто на тот момент знаний о том, что он позволяет измерять затраченное время точнее, чем DateTime мне хватало. Пришло время разъяснить себе, а так же читателям то, как на самом деле работает класс Stopwatch, а так же выяснить его преимущества и недостатки по сравнению с использованием DateTime. 

Разбор заданий С3 ЕГЭ по математике 2014

Некоторые задания С3 ЕГЭ математика этого года!

Разбор заданий С5 ЕГЭ по математике 2014

На протяжении уже 5 лет, решаю задания ЕГЭ по математике. Особенно мною любимы задачи с параметрами С5. В данном посте предлагаю решение четырех разных задач, которые были в 2014 году.

Так ли прост строковый оператор +

Введение

Строковый тип данных является одним из фундаментальных типов, наряду с числовыми (int, long, double) и логическим (bool). Тяжело себе представить хоть, сколько либо полезную программу, не использующую данный тип.

На платформе .NET строковый тип представлен в виде неизменяемого класса String. Кроме того, он является сильно интегрированным в общеязыковую среду CLR, а так же имеет поддержку со стороны компилятора языка C#.

В этой статье я бы хотел поговорить о конкатенации, операции, которая выполняется над строками так же часто, как операция сложения над числами. Казалось бы, о чем тут можно говорить, ведь все мы знаем о строковом операторе +, но как оказалось, есть у него свои тонкости.

Длинная арифметика от Microsoft

Введение

Известно, что компьютер может оперировать числами, количество бит которых ограниченно. Как правило, мы привыкли работать с 32-х и 64-х разрядными целыми числами, которым на платформе .NET соответствуют типы Int32 (int) и Int64 (long) соответственно.

А что делать, если надо представить число, такое как, например, 29! = 8841761993739701954543616000000? Такое число не поместится ни в 64-х разрядный, ни тем более 32-х разрядный тип данных. Именно для работы с такими большими числами существует длинная арифметика.