Итоги новогодних семинаров по математике

Новогодние семинары были посвящены олимпиадной математике, и эта тема была выбрана не просто так. Наши ученики сегодня – студенты завтра, и всем придется сдавать ЕГЭ по математике, часть С которого сопоставима с заданиями из олимпиад. Правда, в отличии от ЕГЭ, олимпиадные задачи тренируют одно из самых важных умений – умение логически рассуждать.

Подведем итоги трехдневной работы.

День первый

Первое и самое главное, что произошло в этот день – конечно же, знакомство друг с другом. Но на этом события первого дня не заканчиваются.

Мы решили задачу, которая так любима многими математиками: сравнить числа е в степени π и π в степени е. Кстати, эта задача была на одной из первых Всероссийских олимпиад по математике в 70-х годах.

Рассмотрели метод нахождения области значения дробно-рациональной функции путем введения параметра. Кто бы мог подумать, что задачу о нахождении области значения функции можно свести к моим любимым параметрам!

Особенно ученикам понравилась задача, которой со мной поделилась моя коллега Плиева Мадина: можно ли иррациональное число возвести в иррациональную степень и получить рациональное число? И ученики, и я оценили решение этой красивой задачи, основанное на простых и очевидных рассуждениях.

День второй

К нам присоединился Чшиев Аслан, за что ему огромное спасибо. Вести семинар стало еще интереснее, ведь одно дело, когда тебя слушают ученики и совсем другое — коллеги.

Мы научились сводить нетривиальные уравнения к решению несложных систем уравнений. Ученикам этот способ пришелся по душе, особенно Гарику Арутюнову.

Познакомились с очевидным и в тоже время очень полезным утверждением: уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения, если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке. Даже применили его при решении уравнения 2^x+3^x=5^x, которое я помню еще со времен своей подготовки к ЕГЭ.

Ну и, конечно же, пошли по стопам великого математика Карла Гаусса, который в шестилетнем возрасте вывел формулу для нахождения суммы 1+2+3+...+100.

Мы пошли дальше и научились выводить формулы для нахождения сумм 1²+2²+3²+...+n², 1³+2³+3³+...+n³.

День третий

К нам присоединилось четыре ученика из РФМЛИ: трое одиннадцатиклассников и один восьмиклассник.

День в основном был посвящен теории чисел и задачам с параметрами, однако мы не забыли и о уравнениях.

Ученикам особенно сильно понравилась задача на итерации, при решении которой нам удалось свести уравнение f(f(f(x)) = x к f(x) = x.

Слова благодарности

Спасибо Вере Сергеевне, Инне Игнатович, Свете Макаренко за организацию наших семинаров, ну и, конечно же, спасибо ВЦНМО за то, что он есть.

Я рад, что у нас в республике есть дети, интересующиеся математикой, ведь как сказал Михаил Васильевич Ломоносов: «Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит».

На этой радостной ноте мы завершаем наши новогодние семинары по олимпиадной математике! Увидимся в новом году.