Задача с параметром 28

При каких значениях параметра а система имеет хотя бы одно решение?

Решение

Два решения: аналитическое и графическое (метод областей).

 

Задача с параметром 27

27 задача отличается от предыдущих. Можно сказать это не совсем типичная задача для ЕГЭ, но тем не менее решат ее нужно уметь.

При всех значениях параметра а, решить неравенство: ax² - (2a + 1)x + 2 > 0

Решение

 

Задача с параметром 26

Сегодняшняя задача с параметром звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, наименьшее значение функции f(x) = x² - 4|x| - ax + a на отрезке [-1; 3] не меньше, чем -5.

Задача с параметром 25

Двадцать пятая задача с параметром звучит следующим образом: найдите все значения параметра а, при каждом из которых для любого x из промежутка [3; 9) значение выражения 

log₃²x - 6, не равно значению выражения (a - 4)log₃x.

Задача с параметром 24

Сегодняшняя задача не совсем похожа на предыдущие. Она достаточно не сложная и не тянет на уровень С5, но в тоже время нужно уметь решать и такие задачи.

При каких значениях параметра a уравнение a|x - 1| = x + 2 имеет единственное решение. Найдите это решение в зависимости от параметра a.

Задача с параметром 23

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых корни уравнения

x⁴ + (a - 5)x² + (a + 2)² = 0

 являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии.

Задача с параметром 22

22 задача особенная, она опубликована в пятницу 13...

Условие задачи звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Задача с параметром 21

21 -ая задача с параметром звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, система имеет единственное решение?

Задача с параметром 20

Хорошая и в то же время несложная задача с параметром под номером 20.
При каких значениях параметра a, неравенство  (x² + y² - 3)(x² + y² - a) < 0 имеет ровно 4 целочисленных решения?

Решение
Как и большинство задач с параметрами, эту задачу удобно решать графически.
Единственное необходимо не забыть рассмотреть все пограничные значения параметра а, при которых решение как бы "выбивается" из общего случая.

Задача с параметром 19

Девятнадцатая задача с параметром звучит следующим образом: при каких значениях параметра а неравенство  x² + 2|x - a| - 4x ≤ -a имеет единственное целочисленное решение. Вычислите это решение для найденных значениях а.

Задача с параметром 18

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет решение, причем любой его корень находится на отрезке [1; 2].

Решение

Задача весьма интересна, тем что если бы параметр а был зафиксирован, то решить такое уравнение можно было бы только графически. Но ведь в условии задачи не сказано решить, достаточно найти такие а при каждом из которых все корни уравнения, а оно может иметь не более одного корня, принадлежат отрезку [1; 2].

Вспоминаем, что сумма возрастающих/убывающих функций сохраняет монотонность, то есть является так же возрастающей/убывающей и решаем задачу.

Задача с параметром 17

Семнадцатая задача с параметром звучит следующим образом: при каком наибольшем значении параметра а система имеет единственное решение?

Задача с параметром 16

При каких значениях параметра а, система имеет единственное решение?

Решение
Тот факт, что начинать надо с первого уравнения очевиден. Как говорил мой преподаватель: с модулем мы умеем делать только одно - раскрывать его.

Задача с параметром 15

При каких значениях параметра а, система имеет решение?

Решение

Задача интересна, даже если бы параметра в ней не было. Первое, что я сделал это зафиксировал параметр, и решил систему. После этого стало понятно как решение можно обобщить для любого значения а.

Итоги новогодних семинаров по математике

Новогодние семинары были посвящены олимпиадной математике, и эта тема была выбрана не просто так. Наши ученики сегодня – студенты завтра, и всем придется сдавать ЕГЭ по математике, часть С которого сопоставима с заданиями из олимпиад. Правда, в отличии от ЕГЭ, олимпиадные задачи тренируют одно из самых важных умений – умение логически рассуждать.

Подведем итоги трехдневной работы.

День первый

Первое и самое главное, что произошло в этот день – конечно же, знакомство друг с другом. Но на этом события первого дня не заканчиваются.

Мы решили задачу, которая так любима многими математиками: сравнить числа е в степени π и π в степени е. Кстати, эта задача была на одной из первых Всероссийских олимпиад по математике в 70-х годах.

Рассмотрели метод нахождения области значения дробно-рациональной функции путем введения параметра. Кто бы мог подумать, что задачу о нахождении области значения функции можно свести к моим любимым параметрам!

Особенно ученикам понравилась задача, которой со мной поделилась моя коллега Плиева Мадина: можно ли иррациональное число возвести в иррациональную степень и получить рациональное число? И ученики, и я оценили решение этой красивой задачи, основанное на простых и очевидных рассуждениях.

Задача с параметром 14 или 3 способа сделать одно и то же

Задача звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, система имеет решения?

Решения

Как всегда первое мое решение было графическим, и как по мне, так оно самое красивое. Два остальных решения(аналитические) пришли мне в голову когда я оформлял графическое решение :)

Чертова дюжина или задача с параметром 13

На носу конференция посвященная  .NET, но тем не менее я нашел часок второй, чтобы оформить решений этой интересной задачи с параметром.

Итак, условие звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, система уравнений имеет более двух решений

Задача с параметром 12

Сегодняшняя задача звучит следующим образом: при каких значениях параметра a, система имеет единственное решение?

Решение

Я не написал в решении, но для точности можно рассмотреть еще 2 случая, когда окружности вырождаются в точки. В этом случае может получится единственное решение если эта точка принадлежит кругу. Но в данном случае так не происходит!

Заочный этап олимпиады МФТИ по математике

Публикую свои решения заочного этапа олимпиады МФТИ по математике 2014 года. Надеюсь никто в этом ничего зазорного не найдет, ведь это только заочный этап. Все самое интересное будет на очном этапе!

Условия задач

Одинадцатая задача с параметром

При каких значения параметра а, система имеет единственное решение?