Чертова дюжина или задача с параметром 13

На носу конференция посвященная  .NET, но тем не менее я нашел часок второй, чтобы оформить решений этой интересной задачи с параметром.

Итак, условие звучит следующим образом: при каких значениях параметра а, система уравнений имеет более двух решений

Задача с параметром 12

Сегодняшняя задача звучит следующим образом: при каких значениях параметра a, система имеет единственное решение?

Решение

Я не написал в решении, но для точности можно рассмотреть еще 2 случая, когда окружности вырождаются в точки. В этом случае может получится единственное решение если эта точка принадлежит кругу. Но в данном случае так не происходит!

Заочный этап олимпиады МФТИ по математике

Публикую свои решения заочного этапа олимпиады МФТИ по математике 2014 года. Надеюсь никто в этом ничего зазорного не найдет, ведь это только заочный этап. Все самое интересное будет на очном этапе!

Условия задач

Одинадцатая задача с параметром

При каких значения параметра а, система имеет единственное решение?

Задача с параметром 10

Это только 10 задача, а такое чувство, что уже 100-ая.

Сегодняшняя задача с параметром звучит следующим образом: найдите все значения a, при каждом из которых функция f(x) = ||x| - 2| - ax + 8a принимает значение, равное 2, в двух различных точках.

Задачу можно решить как аналитически, так и графически. Как всегда графический способ намного проще и красивее.

 

Можно было не описывать все значения параметра, а обойтись лишь теме при которых уравнение действительно имеет только два корня. Но наглядности, я думаю это не помешает.

Читающим советую решить эту задачу аналитически и сравнить.

PS. Можно раскрыть внешний модуль и свести уравнение к совокупности и порассуждать графически.

Больше меньше большего

Во время моей подготовки к ЕГЭ по математике, решал задачу С3 2005 года. Условие задачи звучало следующим образом: найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее из двух чисел b = 9^a+3^2+a+1, c = 3^2-a+9^-a-5 меньше 9.

Решение из критериев начиналось словами: наибольшее из двух чисел меньше 9 тогда и только тогда, когда каждое из них меньше 9. Казалось бы очевидное утверждение по мнению разработчиков критериев, а вот я на тот момент долго не мог понят почему это так.

Продолжение статьи.

Задача с параметром 9

При каких значения параметра а, уравнение

имеет ровно три различных корня?

Сегодняшняя задача не является сложной. Суть решения заключается в исследовании корней квадратичной функции.

Придумал три способа решения, 2 из них записал, третий на откуп читателю.

Ссылка на решения.